Les corrections détaillées des concours de CPGE

Le parcours du taupin en classe préparatoire scientifique se conclut par les traditionnels concours d'accès aux grandes écoles d'ingénieurs. Ces différents concours regroupent chacun plusieurs écoles. Ils se subdivisent en réalité en de nombreux concours qui diffèrent selon la filière choisie en Maths-spé : MP, MPI, PC, PSI,...

Le site Mathsapiens.fr vous propose des corrigés manuscrits de différents concours du niveau math spé. La liste exhaustive de toutes les annales de concours (sujets et corrigés) disponibles au format pdf sur cette page se trouve dans les sections "analyse des sujets". Les corrections sont détaillées et les plus rigoureuses possible, de manière à vous donner des pistes de compréhension ainsi qu'une idée globale des attendus pour ces types d'épreuves. Précisons néanmoins qu'il ne s'agit en aucun cas de corrections officielles. Elles peuvent donc éventuellement ne pas correspondre à certaines exigences de jurys. Malgré tout le soin apporté à ces corrigés de concours, ils peuvent contenir des coquilles. Ces corrections viennent en complément des conseils de vos professeurs et ne doivent en aucun cas primer sur leur enseignement. Vous trouverez ici des corrections des concours E3A, CCINP, Centrale-Supelec et Mines-Ponts, et ce dans les filières les plus classiques : MP, MPI, PC et PSI.

Vous trouverez ici l'analyse des sujets proposés lors de la session 2024.

CCINP 2024 Maths - MP et MPI - sujet 1

* Exercice 1 : Exercice de probabilités discrètes permettant de démontrer une formule de calcul de l'espérance puis, à travers la modélisation d'une expérience, recherche d'un équivalent de l'espérance à l'aide d'une somme de Riemann.

* Exercice 2 : Recherche d'une solution développable en série entière pour une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients non constants. Etude de la structure et de la dimension puis détermination de l'espace des solutions, sans possibilité d'utiliser le wronskien. Un problème de recollement fait ensuite appel aux développements limités.

* Problème : Résolution du problème de Bâle par deux méthodes différentes. Une question préliminaire permet de déterminer rapidement la valeur de la série des inverses des carrés d'entiers à partir d'un résultat admis. Les deux parties suivantes proposent deux méthodes différentes pour démontrer le résultat admis. Dans la première partie, on utilise l'intégrale de Wallis ainsi que le développement en série entière de la fonction arcsin pour obtenir le résultat attendu via une intégration terme à terme. La seconde partie, basée sur un développement en série entière à partir d'une série géométrique, permet de mettre en oeuvre les principaux théorèmes sur les intégrales à paramètres : continuité, dérivation (Leibniz) et intégration terme à terme pour l'interversion somme-intégrale.

CCINP 2024 Maths - MP - sujet 2

* Exercice 1 (commun avec le sujet MPI) : Diagonalisation d'une matrice 3*3 puis application à la convergence d'un système de suites récurrentes linéaires d'ordre 1

* Exercice 2 : Ecriture en langage Python de différents scripts dans le but de modéliser le groupe des permutations : composition de permutations, inverse d'une permutation, sous-groupe cyclique engendré par une permutation

* Problème (commun avec le sujet MPI) : Etude des matrices symétriques définies positives par différentes méthodes : caractérisation spectrale avec le théorème spectral, stricte positivité de la trace et du déterminant, application à l'optimisation d'une fonction à deux variables (point critique, matrice hessienne), caractérisation par le critère de Sylvester avec calcul de mineurs principaux, puis des applications notamment avec une forme quadratique et une suite récurrente linéaire d'ordre 2.

CCINP 2024 Maths - MPI - sujet 2

* Exercice 1 (commun avec le sujet MP) : Diagonalisation d'une matrice 3*3 puis application à la convergence d'un système de suites récurrentes linéaires d'ordre 1

* Exercice 2 : Exercice sur la somme d'une série de fonctions faisant intervenir les principaux théorèmes du cours : comparaison à une série de Riemann, convergence absolue, convergence normale, convergence uniforme, théorème de continuité d'une série de fonctions, théorème de la double limite, encadrement par des intégrales, changement de variables et IPP dans une intégrale impropre à paramètre et recherche d'un équivalent de la somme de la série de fonctions.

* Problème (commun avec le sujet MP) : Etude des matrices symétriques définies positives par différentes méthodes : caractérisation spectrale avec le théorème spectral, stricte positivité de la trace et du déterminant, application à l'optimisation d'une fonction à deux variables (point critique, matrice hessienne), caractérisation par le critère de Sylvester avec calcul de mineurs principaux, puis des applications notamment avec une forme quadratique et une suite récurrente linéaire d'ordre 2.

CCINP 2024 Maths - PC

* Exercice 1 : Exercice d'algèbre sur les racines cubiques d'une matrice. Les deux premières parties, très accessibles, traitent d'exemples en dimension 2. La troisième partie est plus axée sur la diagonalisation, avec notamment la manipulation de matrices diagonales par blocs et de polynômes annulateurs.

* Exercice 2 : Exercice d'analyse sur la caractérisation du logarithme de la fonction Gamma. Dans une première partie, on manipulera les différentes modes de convergence d'une série de fonction : convergence simple, convergence absolue et convergence normale. Une deuxième partie se focalise sur la démonstration de l'unicité de la solution obtenue précédemment, avec notamment la manipulation d'inégalités. Enfin, la dernière partie très calculatoire permet d'aboutir à une formule de duplication. On utilisera à cet effet la formule de Stirling qui n'est pas rappelée dans l'énoncé.

* Exercice 3 : Exercice de probabilités qui propose d'étudier le temps d’attente avant une collision lors d’une succession de tirages avec remise. Très calculatoire, cet exercice mobilise des compétences sur la manipulation des intégrales, et notamment la mise en oeuvre du théorème de la convergence dominée.

E3A 2024 Maths - MP

* Exercice 1 : Exercice de probabilités sur la loi géométrique, avec transformation d'une variable aléatoire discrète à l'aide de la fonction partie entière.

* Exercice 2 : Exercice d'analyse sur les séries entières, avec un terme général mobilisant des connaissances de trigonométrie. Détermination d'un rayon de convergence, calcul avec les complexes, calcul de sommes de séries entières.

* Exercice 3 : Exercice d'algèbre linéaire portant sur l'étude des puissances d'une matrice à partir d'un polynôme annulateur. Utilisation des techniques de diagonalisation et mobilisation de connaissances sur les polynômes interpolateurs de Lagrange et les matrices symétriques réelles.

* Exercice 4 : Exercice d'analyse sur le produit de convolution faisant intervenir des connaissances en topologie. A travers l'étude d'une intégrale généralisée, de nombreuses questions sur la continuité, continuité uniforme et caractère lipschitzien. L'exercice sur l'intégrale impropre se termine par l'étude d'une norme subordonnée.

Vous trouverez ici l'analyse des sujets proposés lors de la session 2023.

E3A 2023 Maths - MP et MPI

* Exercice 1 : Exercice d'algèbre linéaire portant dans un premier temps sur les polynômes, avec notamment des questions sur les racines multiples et la formule de Taylor polynomiale. La seconde partie de l'exercice est plus axée sur la réduction d'endomorphismes.

* Exercice 2 : Exercice d'analyse assez complet sur le thème des intégrales, avec des questions préliminaires sur la fonction Gamma. On y retrouve les techniques classiques sur les intégrales généralisées et sur les intégrales à paramètres, avec notamment le théorème de la convergence dominée et le théorème de continuité des intégrales à paramètres. L'exercice se termine par l'étude d'une série de fonctions et l'emploi du théorème d'intégration terme à terme.

* Exercice 3 : Long exercice transversal, entre analyse et algèbre linéaire. Un premier travail sur la continuité, la surjectivité et l'injectivité d'un endomorphisme laissait ensuite place à la résolution d'une équation différentielle linéaire permettant de déterminer les valeurs propres et sous-espaces propres de l'endomorphisme. L'exercice se conclut par l'étude d'un endomorphisme induit.

* Exercice 4 : Exercice transversal entre probabilités et algèbre linéaire. Quelques questions de cours sur les projections vectorielles sont ensuite réinvesties pour déterminer la trace, le rang, le déterminant et le spectre d'une matrice aléatoire, c'est-à-dire d'une matrice dont les éléments sont des variables aléatoires.

Vous trouverez ici l'analyse des sujets proposés lors de la session 2022.

CCINP 2022 Maths - MP - sujet 1

* Exercice 1 : Cet exercice consiste dans un premier temps à démontrer la formule du déterminant de Vandermonde. Deux applications mobilisent ensuite des connaissances sur les calculs de produits triangulaires ainsi que sur les racines n-ièmes de l'unité.

* Exercice 2 : Plusieurs propriétés de l'exponentielle de matrices sont à démontrer dans cet exercice assez court. on utilise une norme d'algèbre sur l'ensemble des matrices carrées réelles pour obtenir la continuité de la somme ainsi que la différentiabilité de l'application exponentielle en la matrice nulle.

* Problème : Le problème proposé est beaucoup plus long que les exercices et se découpe en deux parties indépendantes. La première partie traite de l'exponentielle d'une matrice symétrique. Après un exemple qui mobilise des notions sur la série exponentielle et la réduction de matrices, il est proposé de démontrer que l'exponentielle d'une matrice symétrique réelle positive est également une matrice symétrique réelle positive. Dans la seconde partie, on utilise le produit d'Hadamard de deux matrices et on introduit une matrice E(A) dont tous les termes sont les exponentielles respectives des termes d'une matrice A symétrique réelle positive. En mobilisant des connaissances sur le théorème spectral, la réduction de matrices réelles symétriques positives, la continuité dans un espace de dimension finie, la manipulation d'une quadruple somme et des propriétés de topologie sur les fermés, on finit par démontrer que E(A) est aussi une matrice symétrique réelle positive.

Que vous soyez en Maths-sup ou en Maths-spé, entraînez-vous sur de nombreuses annales de concours. Ceci vous permettra de comprendre la philosophie, la structure et les attendus de chaque concours.

Travaillez bien vos classiques : séries numériques, séries entières, intégrales impropres et à paramètres pour l'analyse ; polynômes, espaces vectoriels, réduction d'endomorphismes et espaces préhilbertiens en algèbre ; sans oublier les probabilités que les étudiants ont parfois tendance à délaisser au profit des deux autres grandes branches des Mathématiques.

Pendant vos deux voire trois longues années de classe prépa, ne perdez jamais une occasion de vous entraîner aux différents concours. L'entraînement est un facteur clé de réussite. Je profite de cette conclusion pour rappeler que la plupart des rapports de jury signalent une réelle attente des correcteurs concernant la présentation et la propreté de la copie, ainsi que pour la rigueur rédactionnelle. Il est facile de se différencier sur ce point. Mettez donc toutes les chances de votre côté.

Je tiens à préciser que les corrigés mis à disposition ne sont pas officiels et peuvent contenir des maladresses ou des coquilles. En cas de doute, n'hésitez pas à vous rapprocher de vos professeurs ou de vos préparateurs.

Pour finir, n'oubliez pas notre devise : "Entraînement difficile, concours faciles !"